Ayıp Olan Bilmemek Değil, Öğrenmemek – Bölüm 2
Nerede kaldık en son? Yirmi senedir görmediğiniz, sevgili ikinci dereceden kuzeniniz Cüneyt ve ailesi sonunda evinize teşrif ettiler. Daha çocuğa bir bardak soğuk su ikram etmeden oturttunuz tavlanın başına. Bir de yazıktır, anlamıyor çocuk. Pencüse atmış kapı almıyor. Tekten kaçmaya çalışıyor. Yok yok, henüz o seviyeye ulaşamadık. Daha temel bir olay olan zar atma evresindeyiz. Hikayemizin ilk bölümünü kaçıranlar buradan kendisine ulaşabilir. Kusura bakmayın, Türk dizilerindeki gibi önceki bölümün özeti muhabbetine giremiyoruz.
En son Cüneyt’e gözlerini kapamasını söyledik ve zarı tekrar fırlattık.
– “Peki, Cüneyt. Sana yine zarın 4 gelme ihtimalini soracağım ama bir de ek bilgi veriyorum. Zar 5’ten daha küçük geldi. Şimdi zarın 4 gelme ihtimali nedir?”
Cüneyt artık olasılık hesapları konusunda palazlanmıştır. Cevabı yapıştırıverir, “Bu verdiğin bilgiyi hesaba katarsak 1/4.”
Cüneyt tam da duymak istediğiniz cevabı verir. Ev sahibi olarak biraz tedirgin olmaya başlarsınız. Çocuk eve geldiğinden beri yok şunun olasılığı, yok bunun olasılığı diye çocuğu darladınız ama boynuz kulağı geçecek gibi görünüyordu. Acaba, gerçekten geçecek miydi? Cüneyt tahmin ettiğinizden de engin bir olasılık bilgisine mi sahipti?
Bunu test etmek için tek bir fikir gelir aklınıza. Soruyu biraz daha karmaşıklaştırmak. Odanıza gidip lise yıllarında çokça haşır neşir olduğunuz o oyun kutusunu açıp içinden bir adet on yüzlü FRP zarı çıkarırsınız (tam da yukarıda gördüklerinizden biri gibi). Ailecek oturduğunuz oturma odasına geri dönersiniz. Bu sırada kahveler de gelmiştir. Neyse ki eve gelen misafirlere hizmette kusur etmeyen anlayışlı ebeveynleriniz vardır.
Kahvesi gelen Cüneyt’in keyfi yerine gelmiştir. İlk dakikalardaki buzlar erimiş, aile eşrafı arasında laf lafı açmaya başlamıştır. Bu sırada Cüneyt elinizdeki FRP zarını görür. Kafasını kaldırır ve gülümseyerek size sinsi bir bakış atar. Adeta muhabbetin gideceği yönü kestirmeye başlamıştır. Siz de kendisini daha fazla bekletmek istemezsiniz.
– “Cüneytciğim, bu zarı gidip odamdaki oyun kutusundan çıkardım. On yüzlü bir zar. Eskiden çok oynardık bunlarla biz.”
– “Dur, hemen söyleyeyim, 1/10 bu sefer.”
– “Hehe, yok canım, onu sormuyorum. Biraz daha güzel bir soru var aklımda. Bak şimdi…”
Bu sırada cebinizden bir de madeni para çıkarırsınız.
– “Şimdi bu parayı fırlatacağım. Eğer yazı gelirse normal zarı atacağım. Tura gelirse on yüzlü zarı. Bu durumda 4 gelme olasılığı nedir?”
Cüneyt’in yüzündeki gülümseme bir anlık ciddiyete dönüşse de cevap vermesi fazla uzun sürmez.
– “Ooooo… koşullu olasılıklardan devam ediyoruz? Hemen söyleyeyim: 0.13333. Üçler sonsuza kadar devam ediyor, yanlış olmasın.”
Korktuğunuz başınıza gelmeye başladı sanki. Cüneyt gözünüzün önünde bir rain-man’e dönüşmeye başladı. Cevap vermekle kalmayıp daha önce duymadığınız bilimsel terimlerle sizi adeta dövüyordu.
Bu noktada pause tuşuna basıp Cüneyt’i ve ev sahibini birkaç dakikalığına durduralım. (Beyler, iki dakika bekleyin de şu hesaplamaları bir açıklayayım daha fazla karmaşıklaşmadan.) Cüneyt’in söylediği gibi, burada koşullu olasılık hesaplarından bahsetmemiz gerekiyor.
Olasılığını hesaplamak istediğimiz olayın, yeni bir bilgi dahilinde ve belli bir koşul altındaki olasılığına “koşullu olasılık (conditional probability)” diyoruz. Tatavayı geçiyorum. Şöyle örneklendirebiliriz. Bir zarın 4 gelmesi olayının olasılığını hesaplayıp 1/6 bulabiliriz. Zarın 5’ten küçük geldiği koşul altında 4 gelme olasılığı ise 1/4 olacaktır. Çünkü bu artık bir “olasılık”tan ziyade bir “koşullu olasılık”tır.
Bu konuyu kelimelerle ifade edecek olursak tekrar bir “Bilmemek değil öğrenmemek ayıp” vakası olarak düşünebiliriz. Olay konusunda hiçbir bilgimiz yoksa bir olasılık hesaplayıp 1/6 bulabiliyoruz. Ama bize yeni bir bilgi verildiğinde, bu bilgiyi kullanıp olasılıklarımızı daha iyi hesaplayabiliriz. Bu sürece -bir anlamda- öğrenmek diyebiliriz. Olay hakkında daha çok bilgi sahibi olup daha doğru kararlar vermeye başladığımız bir süreç. Peki, daha iyi olasılık hesabı yaparak nasıl daha iyi karar verebiliriz? Ona yakında değineceğiz.
Bu konuyu denklemlerle ifade etmek istersek, önce bir olaylarımızı tanımlayalım:
A: Zarın 4 gelme olayı.
B: Zarın 5’ten küçük gelme olayı.
A ve B’nin olasılıklarını hesap etmek çok kolay. Literatüre uygun olarak probability’nin P’sini kullanalım olasılık değerlerini ifade etmek için:
\(P(A) = 1/6\)
\(P(B) = 4/6\)
Koşullu olasılığı ifade edişimiz ise biraz daha farklı. Mesela P(B|A) A olayı olursa, B olayının koşullu olasığı. P(A|B) ise tam tersi, eğer B olayı olursa A’nın olma olasığı manasına geliyor. Şimdi biraz kafa yoralım. Bizim bu yukarıda tanımladığımız A ve B olayları için koşullu olasılıklar nedir?
– Önce P(B|A)’ya bakalım. Hesaplamak istediğimiz şey: Eğer zar 4 gelirse, zarın 5’ten küçük gelme olasılığı. Evet “eh, adı üstünde 5’ten küçük gelmiş zaten?” dediğinizi duyar gibiyim. O zaman yapıştıralım cevabı, gecikmeden:
\(P(B|A) = 1\)
– Şimdi P(A|B)’yi hesaplayalım. Bu sefer bulmak istediğimiz “Eğer zar 5’ten küçük gelirse, 4 gelme olasılığı.” Evet, tam da Cüneyt’e sorulan sorunun aynısı. Biraz kafa çalıştırarak, “zar 5’ten küçük geldiyse eşit ihtimalle 1, 2, 3 ya da 4 gelmiştir. O zaman 1/4.” dediğinizi yine duyuyorum. Onun da cevabını yapıştıralım o zaman.
\(P(A|B) = 1/4\)
1/4 hesabımız doğruydu. Fakat bu hesabı, problem biraz fazla kolay olduğu için yapabildik. Biraz daha zor koşullu olasılık problemleri içinse bir formüle ihtiyacımız olacak.
\(P(A|B) = \displaystyle\frac{P(B|A) * P(A)}{P(B)}\)
Formülümüzün sahibi 1700’lerde yaşamış bir filozof/istatistikçi olan Thomas Bayes. Denklem ise Bayes Teoremi olarak adlandırılır. Yukarıda gördüğünüz formül Bayes’in fikrinin en sade halidir ve istatistik biliminde çok farklı şekillerde uygulanmıştır. Bu formülün temeline oturduğu Bayesian güncelleme (updating) çokça kullanılan istatistiksel yöntemlerden biridir. Bu arada Thomas Bayes resimde görüldüğü üzere epey oturaklı bir abimizmiş. Ya, bir de sen o kadar görsel hazırla, git formülü yanlış yaz, hayret bir şey!
Neyse efendim, yukarıdaki formülde P(B|A), P(A) ve P(B)’nin değerlerini yerine koyduğumuzda 1/4’u de çatırt diye hesaplayabiliyoruz. Onu da belirtmiş olalım konuyu dağıtmadan.
Cüneytlere dönmeden, bir de ikinci soruyu çözelim. Tabii ki, öncelikle olaylarımızı bir tanımlayalım teker teker:
A: Paranın yazı gelmesi olayı
B: Paranın tura gelmesi olayı
C: Zarın 4 gelmesi olayı
Paranın yazı ve tura gelme olaylarının olasılıklarını biliyoruz zaten, 1/2’şer ikisi de. Onları bir kenara yazalım.
\(P(A) = 1/2, P(B) = 1/2\)
Şimdi “eğer yazı gelirse zarın 4 gelme” ve “eğer tura gelirse zarın 4 gelme” koşullu olasılıklarını tanımlayıp değerlerini yazalım. Hatırlarsanız, yazı gelirse normal zarı, tura gelirse on yüzlü zarı atıyoruz.
\(P(C|A) = 1/6, P(C|B) = 1/10\)
Cüneyt’e sorulan soru C olayının olasılığı. Onun hesabı için Bayes teoremine gitmemize gerek yok. Şöyle bir mantık kurabiliriz. Zar iki farklı şekilde 4 gelebilir. Ya yazı gelir ve normal zarla 4 atarız ya da tura gelir ve on yüzlü zarla 4 atarız. Her iki durumun olasılıklarını hesaplayıp toplayarak C olayının olasılığını hesaplayabiliriz. Yani:
\(P(C) = P(C|A) * P(A) + P(C|B) * P(B)\)
Sağlamasını yapmanıza gerek yok. Cüneyt’e güvenebilirsiniz.
\(P(C) = 0.13333\)
Cüneyt en son hamlesiyle psikolojik üstünlüğü eline geçirmişti. Kahvesini yudumlamayı bırakmıştı. Adeta son yudumunu sizden gelecek son soruya saklıyordu. Sizinse, elinizdeki FRP zarı, tavla zarı ve madenî parayla kendisine sorabilecek tek bir sorunuz kalmıştı. Kahveyi şöyle son bir çalkalarsınız, bakışlarınızı Cüneyt’e doğrultursunuz ve cümleler ağızdan dökülür.
– Pekâlâ, bu son sorum. Varsayalım ki sen, parayı ve zarı atarken beni izlemedin. Ama ben sana diyorum ki attığım zar 4 geldi. Bu durumda zardan önce attığım paranın yazı gelme olasılığı nedir?
Tahmin edeceğiniz üzere, Cüneyt yine doğru cevabı verecekti. Ama nasıl? Önce kahvesinin son yudumunu hüpletecek, sonra Bayes Teoremi’ne başvuracaktı. Bu sefer hesaplamak istediğimiz şey ise zarın 4 gelme koşulu altında paranın yazı gelme olasılığı. Yani yukarıdaki tanımları kullanırsak P(A|C). Eh, daha yeni öğrendik biz bunu hesaplamayı.
\(P(A|C) = \displaystyle\frac{P(C|A) * P(A)}{P(C)} = \displaystyle\frac{1/6 * 1/2}{0.13333} = 0.625\)
Bu cevabın üzerine yapacak fazla bir şeyiniz kalmaz. Artık teslim bayrağını çekmeniz gerekir. Derin bir nefes alıp boş kalan kahve fincanınızı masaya bırakırsınız ve sandalyenize yaslanırsınız. Tam ağzınızı açıp bir şey söyleyecek olursunuz ki Cüneyt lafa girer:
– “Kahven bittiyse alayım?”
Yok artık. Adam misafir, yeni gelmiş, üstüne üstlük geldiğinden beri soru bombardımanını tuttunuz, ona rağmen bulaşıkları toparlamak istiyor?
– “Aman Cüneytciğim, lütfen.”
– “Yok yok, versene sen şu kahve fincanını.”
Cüneyt koltuğundan kalkıp hem kendi fincanını hem de sizin fincanınızı alır. Bunu gören anneniz:
– “Evladım n’apıyorsun? Sen misafirsin. Biz hallederiz. Vallaha bak. Dokunma lütfen.”
Cüneyt öyle bir konsantre olmuştur ki annenizin ne dediğini bile duymaz. Masada boş bir kahve fincanı daha bulur. Mutfağa gider. Lavaboda üç fincanı da bir güzel yıkar, durular ve döner. Bu sırada anneniz ve babanız içlerinden adeta “N’apıyor lan bu?” diyerek birbirleriyle göz göze gelirler.
Birden evde tüm dikkatler Cüneyt’e dönmüştür. Cüneyt koltuğuna geri oturur. Tavlanın içinden bir zar alır. Tavlayı kapatır, fincanları da ters olarak tavlanın üstüne kapatır ve konuşmaya başlar:
– “Şimdi bir oyun oynayacağız. Görüyorsunuz önümde üç kahve fincanı ve bir zar var. Şimdi herkes gözlerini kapatsın. Ben zarı fincanlardan birinin içine koyacağım. Hedefiniz hangi fincanın içinde zar olduğunu bulmak. Eğer bulabilirseniz oyunu kazanıyorsunuz.”
Tüm ev ahalisi tavla masasının çevresine toplanmıştır. Herkes gözlerini kapatır. Cüneyt zarı fincanlardan birinin içine koyar ve konuşmaya devam eder.
– “Evet herkes gözlerini açsın. Bilin bakalım, zar hangisinde?”
Ev sahibi olarak soru size yöneltilmiştir. Fazla düşünmeden bir seçim yaparsınız:
– “En soldaki şu fincanı seçiyorum.”
Eve derin bir sessizlik hakim olmuştur. Herkes pür dikkat, acaba zar o fincanın altından mı çıkacak diye beklerken Cüneyt gider en sağdaki fincanı kaldırır. Fincanın içinde zar yoktur. Cüneyt konuşmaya devam eder:
– “En soldaki fincanı seçtin ve ben en sağdaki fincanı açtım. Görüyorsun, açtığım fincanın içinde zar yok. Şimdi tekrar soruyorum. İlk tercihin olan en soldaki fincanda kalmak istiyor musun? Yoksa kararını değiştirip ortadaki fincanı mı seçiyorsun?”
Ev ahalisi içinde homurtular yükselmeye başlarken, birden babanız lafa atılır:
– “İlk seçtiğinde kal yahu. Ya bu en soldakinde ya da ortadakinde işte, ne farkeder. İlk tercih her zaman doğru tercihmiş derler.”
Anneniz de kendini tutamaz:
– Öyle deme ayol. Şimdi bu ortadaki ve sağdaki kalınca Cüneyt gitti sağdakini açtı. O yüzden bana ortadakinde daha bir olabilir gibi geliyor.
Sizce hangisi doğru? İlk seçimimizde kalmalı mıyız? Yoksa seçimimizi değiştirmek mantıklı mı? Bu oyunu daha önce oynayan Cüneyt cevap versin:
Bayes Teoremi’nin Türkçe’ye “beyin yakan olasılık hesabı” olarak çevirilmesini görmek biraz üzücü de olsa, doğru cevabın kapıyı değiştirmek olduğunu öğrenmiş olduk. Tabii ki bunun matematiksel ispatını yapmadan bırakmamız düşünülemezdi:
A: Ortadaki fincanın altında zar olması olayı
B: En soldaki fincan seçildikten sonra Cüneyt’in en sağdaki fincanı kaldırması olayı.
Fincanların altında ne olup bittiğini bilmeyen bir kişi olarak bu olasılıkların değerlerini şöyle yazabiliriz:
\(P(A) = 1/3, P(B) = 1/2\)
Hesaplamak istediğimiz koşullu olasılık, Cüneyt’in en sağdaki fincanı kaldırma tercihinden sonra ortadaki fincanın altında zarın olma olasılığı, yani P(A|B). Onun denklemini de Bayes Teoremi’ni kullanarak yazalım.
\(P(A|B) = \displaystyle\frac{P(B|A) * P(A)}{P(B)}\)
Gördüğünüz üzere, P(A) ve P(B)’yi biliyoruz. İstediğimiz hesabı yapmak için tek ihtiyacımız P(B|A), yani, eğer zar orta fincanın altındaysa, en soldaki fincan seçilmişken Cüneyt’in en sağdaki fincanı açması olayı‘nın olasılığı. Eğer zar orta fincanın altındaysa Cüneyt’in başka bir şansı yok zaten. Elbette, gidip altında zar olmayan kalan tek fincan olan en sağdaki fincanı açması gerekiyor. O yüzden P(B|A) = 1 diyebiliriz direkt. Bu durumda bakın ne buluyoruz:
\(P(A|B) = \displaystyle\frac{1* 1/2}{1/3} = 0.66667\)
Dolayısıyla tercihimizi değiştirerek oyunu kazanma ihtimalimiz 2/3’ken, değiştirmeyerek 1/3 oluyor. Bu şu demek oluyor: “Otuz kere böyle bir oyun oynayıp her defasında kapınızı/fincanınızı değiştirmeye karar verirseniz ortalama 20 kere kazanmanız beklenir.” Bunun deneyini evinizde anne ve babanızla yapabilirsiniz. Anneniz veya babanız yanılabilir ama bilim yanılmaz. Bu arada buraya not düşelim. Bu problemin adı literatürde Monty Hall Problemi olarak geçer.
Nerede kalmıştık? Cevap vermemiz gerekiyordu sanırım en son.
– “Anne haklısın sanırım. Evet değiştiriyorum. Ortadaki fincanı seçtim.”
SON
Not: Görseller için Süt Kardeşler filmine dadandık. Videomuz da Blackjack isimli filmden. Ha FRP zarları da çok şeker, değil mi? Onları da buradan alabiliyorsunuz.
Hafız Lakyab
Yazar: Hafız Lakyab (tümünü gör)
- Dev Kütleli Bir Kara Deliğin Olması Gereken Yer, Galaksisinin Merkezi midir? - 17 Eylül 2019
- Bana kod yazmayı öğret baba – Bölüm 9 - 10 Mart 2019
- Bana kod yazmayı öğret baba – Bölüm 8 - 24 Şubat 2019
- Bana kod yazmayı öğret baba – Bölüm 7 - 10 Şubat 2019
- Bana kod yazmayı öğret baba – Bölüm 6 - 27 Ocak 2019
