Fourier Serisi yazısına ek:

Öncelikle Destin Sandlin’e ve herkese destekleri ve ilgileri için teşekkür ederim. Bu yazıda videoda bana sorulmuş bir kaç soruya cevap vereceğim. Herhalde bundan sonra da Fourier serisi hakkında yazmam, çünkü yeteri kadar yazdım ve kendimi tekrar etmekten hoşlanmıyorum 🙂 Bir popüler bilim sitesine göre biraz teknik bir yazı oldu, o yüzden şimdiden özür dilerim.

 

S1: Bir poligonu (kare, beşgen, altigen vs.) Fourier serisine açmak mümkün müdür?

Daniel Shiffman’a teşekkür ederim. Evet, bir poligon periyodik bir eğri olarak düşünülebileceğinden, Fourier serisine açılabilir. Burada nasıl açılabileceğini göstermek istiyorum:

Diyelim ki \(f(x)\) duzgun bir n-gen’i temsil etsin.

 

Hedefimiz, bu \(f(x)\) fonksiyonunu Fourier serisine açmak:

\(\displaystyle{ f(x) =\frac{1}{2} a_0 + \sum \limits_{n} \left(a_n \cos(n x) + b_n \sin(n x)\right)}\)

Ama, bunun yerine bu Fourier serisini başka bir formda yazayım, çünkü hesaplamaları yapmak daha kolay olacak:

\(\displaystyle{f(x) =\sum \limits_{m = -\infty}^{\infty} c_m e^{i m x}}\),

cunku, \(e^x = \cos x + i \sin x\), ve \(i = \sqrt{-1}\), kompleks sayi. Pekala, Fourier serisinin esprisi bu sabitleri hesaplamak:

\(\displaystyle{c_m = \frac{1}{2 \pi} \int \limits_{0}^{2\pi}f(x) e^{-i m x} dx}\)

İlk iş olarak poligonu n ayrı parçaya ayırabilirim:

\(\displaystyle{c_m = \frac{1}{2 \pi} \sum \limits_{j = 0}^n \int \limits_{x_j}^{x_{j+1}}f(x) e^{-i m x} dx}\),

öyle ki, her bir integral sadece düz bir çizgi üzerinde olsun. Kısmı ıntegrasyonu kullanırım ve bu terimleri biraz değiştirebilirim:

\(\displaystyle{ \int \limits_{x_j}^{x_{j+1}}f(x) e^{-i m x} dx = \left.\left[f(x)\frac{e^{-im x}}{-i m}\right]\right|_{x_{j}}^{x_{j+1}} – \int \limits_{x_j}^{x_{j+1}}s_j \frac{e^{-im x}}{-i m}dx}\).

\(s_j \) \(f(x)\)’in \(j\). parcadaki egimi, \(s_j = df/dt\) ve bu bir sabit! Tüm poligon üzerinden toplam aldıktan sonra ilk terim sıfır olur, çünkü başlangıç noktamız zaten \(f(x)\)’in periyodik olduğu idi! İkinci terime kaldık. Ama bunu çözmek çok kolay:

\(\displaystyle{c_m = \frac{1}{2 \pi} \sum \limits_{j = 0}^n \int \limits_{x_j}^{x_{j+1}}s_j\frac{e^{-im x}}{i m} dx} = -\frac{1}{2\pi m^2} \sum \limits_{j = 0}^n \sigma_j e^{-i m x_j} \),

\(\sigma_j = s_j – s_{j-1}\). Ama, tekrar bu egri periyodik oldugundan, \(s_0 = s_n\). Buradan, \(n\). parcanin egimini su sekilde bulurum:

\(s_{j-1} = \frac{1}{2\pi}\sum \limits_{j = 0}^{n-1}x_j \sigma_j\).

Şimdi, bazı poligonların animasyonlarını, yukarıda yazdığım kurallar çerçevesinde ekleyeceğim. Gerçek sayı kısmı \(x\), sanal kısmı \(y\) olacak. Poligonu merkeze yerleştirmek istiyorum, bu yüzden \(j = 0\) terimini sıfıra eşitledim. Bu yüzden, toplamı biraz değiştirebilirim:

\(\displaystyle{f(x) =\sum \limits_{l = 1 mod 2n} \frac{e^{i (2 + n l) x}}{(2+ nl)^2}}\)

Buraya bir kaç tane poligonu ekliyorum:

Kare:

Besgen:

Aynı zamanda, daha güzel şekiller, yıldızlar vs. yapmak da mümkün. Sadece asımetrik harmoniklerle iki tane poligonun süperpozisyonunu alacaksınız (yani bildiğiniz toplayacaksınız). Asımetrik harmonik derken, \(n_1\) ve \(n_2\) arasında ortak bölen olmamasını kast ediyorum.

\(\displaystyle{f(x) =\sum \limits_{l = 1 mod 2n} \frac{e^{i (n_1 + n_2 l) x}}{(n_1+ n_2 l)^2}}\)

Buraya bir yıldız şeklini koyuyorum:

Q2: Eğer harmonikler Fibonaccı dizisini, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, vs., izlerse eğri nasıl görünür?

Laura Kinnischtzke’ye önerisi için teşekkür ederim. Polar olarak şu şekilde yazabilirim,

\(\displaystyle{ f(\theta) = \sum \limits_{n \in F_n} \left(\frac{c}{n} \cos(n \theta)  + \frac{c}{n} \sin(n \theta) \right)}\)

\(F_n = F_{n-1} + F_{n-2}\), Fibonacci dizisi.

Sekil bir fraktal ve Weierstrass function u gibi görünüyor:

Animasyonlar: Bilgecan Dede

The following two tabs change content below.

Bilgecan Dede

Hukuğa kafası basmadığından meslek okuluna gitti bu. Ondan sonra gavur bir ustanın yanına çırak verdiler eli iş tutsun diye, çok şükür ustalığını kazanmış ondan, şimdi de usta olmuş çalışıyo. Eli yüzü düzgün biriyle de evermişler. Ben diyorum “bak ileride torun combalak olacak, gel bir şirkette işe başla” ama dinlemiyor ki, asi biraz bu.

Fourier Serisi yazısına ek:” için 4 yorum

  • 24 Aralık 2018 tarihinde, saat 14:15
    Permalink

    beynim yandı. maşallah. helal!

    Yanıtla
  • 27 Ocak 2019 tarihinde, saat 03:49
    Permalink

    Hi,

    Hope it’s OK if I write in English. I just wanted to say that I saw you on the “Smarter Every Day” YouTube clip, and I can’t believe Destin not only “corrected” your pronunciation of “gif”, but included this in the final clip — how incredibly presumptuous and rude! For what it’s worth, I’m a native English speaker with a PhD in bioinformatics, and I (and many other people) pronounce it just like you did.

    On a brighter note, the visualisations here really are beautiful, thank you for sharing them 🙂

    Yanıtla
    • 28 Nisan 2019 tarihinde, saat 04:57
      Permalink

      Tim, Dustin just made a joke. He got u :))

      Yanıtla

Bir cevap yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak. Gerekli alanlar * ile işaretlenmişlerdir

This site uses Akismet to reduce spam. Learn how your comment data is processed.