Fourier Serisi yazısına ek:

Öncelikle Destin Sandlin’e ve herkese destekleri ve ilgileri için teşekkür ederim. Bu yazıda videoda bana sorulmuş bir kaç soruya cevap vereceğim. Herhalde bundan sonra da Fourier serisi hakkında yazmam, çünkü yeteri kadar yazdım ve kendimi tekrar etmekten hoşlanmıyorum 🙂 Bir popüler bilim sitesine göre biraz teknik bir yazı oldu, o yüzden şimdiden özür dilerim.

 

S1: Bir poligonu (kare, beşgen, altigen vs.) Fourier serisine açmak mümkün müdür?

Daniel Shiffman’a teşekkür ederim. Evet, bir poligon periyodik bir eğri olarak düşünülebileceğinden, Fourier serisine açılabilir. Burada nasıl açılabileceğini göstermek istiyorum:

Diyelim ki \(f(x)\) duzgun bir n-gen’i temsil etsin.

 

Hedefimiz, bu \(f(x)\) fonksiyonunu Fourier serisine açmak:

\(\displaystyle{ f(x) =\frac{1}{2} a_0 + \sum \limits_{n} \left(a_n \cos(n x) + b_n \sin(n x)\right)}\)

Ama, bunun yerine bu Fourier serisini başka bir formda yazayım, çünkü hesaplamaları yapmak daha kolay olacak:

\(\displaystyle{f(x) =\sum \limits_{m = -\infty}^{\infty} c_m e^{i m x}}\),

cunku, \(e^x = \cos x + i \sin x\), ve \(i = \sqrt{-1}\), kompleks sayi. Pekala, Fourier serisinin esprisi bu sabitleri hesaplamak:

\(\displaystyle{c_m = \frac{1}{2 \pi} \int \limits_{0}^{2\pi}f(x) e^{-i m x} dx}\)

İlk iş olarak poligonu n ayrı parçaya ayırabilirim:

\(\displaystyle{c_m = \frac{1}{2 \pi} \sum \limits_{j = 0}^n \int \limits_{x_j}^{x_{j+1}}f(x) e^{-i m x} dx}\),

öyle ki, her bir integral sadece düz bir çizgi üzerinde olsun. Kısmı ıntegrasyonu kullanırım ve bu terimleri biraz değiştirebilirim:

\(\displaystyle{ \int \limits_{x_j}^{x_{j+1}}f(x) e^{-i m x} dx = \left.\left[f(x)\frac{e^{-im x}}{-i m}\right]\right|_{x_{j}}^{x_{j+1}} – \int \limits_{x_j}^{x_{j+1}}s_j \frac{e^{-im x}}{-i m}dx}\).

\(s_j \) \(f(x)\)’in \(j\). parcadaki egimi, \(s_j = df/dt\) ve bu bir sabit! Tüm poligon üzerinden toplam aldıktan sonra ilk terim sıfır olur, çünkü başlangıç noktamız zaten \(f(x)\)’in periyodik olduğu idi! İkinci terime kaldık. Ama bunu çözmek çok kolay:

\(\displaystyle{c_m = \frac{1}{2 \pi} \sum \limits_{j = 0}^n \int \limits_{x_j}^{x_{j+1}}s_j\frac{e^{-im x}}{i m} dx} = -\frac{1}{2\pi m^2} \sum \limits_{j = 0}^n \sigma_j e^{-i m x_j} \),

\(\sigma_j = s_j – s_{j-1}\). Ama, tekrar bu egri periyodik oldugundan, \(s_0 = s_n\). Buradan, \(n\). parcanin egimini su sekilde bulurum:

\(s_{j-1} = \frac{1}{2\pi}\sum \limits_{j = 0}^{n-1}x_j \sigma_j\).

Şimdi, bazı poligonların animasyonlarını, yukarıda yazdığım kurallar çerçevesinde ekleyeceğim. Gerçek sayı kısmı \(x\), sanal kısmı \(y\) olacak. Poligonu merkeze yerleştirmek istiyorum, bu yüzden \(j = 0\) terimini sıfıra eşitledim. Bu yüzden, toplamı biraz değiştirebilirim:

\(\displaystyle{f(x) =\sum \limits_{l = 1 mod 2n} \frac{e^{i (2 + n l) x}}{(2+ nl)^2}}\)

Buraya bir kaç tane poligonu ekliyorum:

Kare:

Besgen:

Aynı zamanda, daha güzel şekiller, yıldızlar vs. yapmak da mümkün. Sadece asımetrik harmoniklerle iki tane poligonun süperpozisyonunu alacaksınız (yani bildiğiniz toplayacaksınız). Asımetrik harmonik derken, \(n_1\) ve \(n_2\) arasında ortak bölen olmamasını kast ediyorum.

\(\displaystyle{f(x) =\sum \limits_{l = 1 mod 2n} \frac{e^{i (n_1 + n_2 l) x}}{(n_1+ n_2 l)^2}}\)

Buraya bir yıldız şeklini koyuyorum:

Q2: Eğer harmonikler Fibonaccı dizisini, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, vs., izlerse eğri nasıl görünür?

Laura Kinnischtzke’ye önerisi için teşekkür ederim. Polar olarak şu şekilde yazabilirim,

\(\displaystyle{ f(\theta) = \sum \limits_{n \in F_n} \left(\frac{c}{n} \cos(n \theta)  + \frac{c}{n} \sin(n \theta) \right)}\)

\(F_n = F_{n-1} + F_{n-2}\), Fibonacci dizisi.

Sekil bir fraktal ve Weierstrass function u gibi görünüyor:

Animasyonlar: Bilgecan Dede

The following two tabs change content below.

Fourier Serisi yazısına ek:” için 2 yorum

  • 24 Aralık 2018 tarihinde, saat 14:15
    Permalink

    beynim yandı. maşallah. helal!

    Yanıtla

Bir cevap yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak. Gerekli alanlar * ile işaretlenmişlerdir

This site uses Akismet to reduce spam. Learn how your comment data is processed.