Cycloid Eğrisi

Cycloid eğrisi, yuvarlanan bir çember üzerindeki noktayı izleyen eğri (kırmızı eğri). Önceden cycloid eğrisinin farkına varan matematikçiler olsa da, Galileo Galilei ilk keşfeden olarak bilinir.

Kapak görseli: Bisikletin arka tekerine iliştirilmiş kırmızı ve mavi ışıkları uzun poz ile çekmişler.

Galilei’den kısa bir süre sonra cycloid eğrisinin fizikteki önemi anlaşıldı. Fizikçiler, ki 17.yy’dan bahsettiğimiz için fizikçiler daha bir köy nüfusunu geçememişler, yer çekimi altında düşen bir cismin hangi eğriyi izleyince en kısa sürede düşeceğini hesaplamaya çalışmışlar. Bu problemin diğer ismi Brachistochrone problemidir. Gel zaman git zaman Brachistochrone probleminin çözümü ortalıkta anonim olarak dolaşmaya başlamış. Brachistochrone probleminin çözümünün cycloid olduğunu gösteren kişi halen bilinmese de, baba Bernoulli “aslanı pencesinden tanıdım” diyerek problemi aslında Newton’un çözdüğünü tahmin etmiştir. Biraz yüksekte bir topun, aşağıdaki bir noktaya (direkt aşağısı değil) düşmesini istiyorsunuz. Başlangıç noktası ile varacağınız nokta arasına bir cycloid eğrisi şeklinde bir tel koyarsanız, top diğer alabileceği yollara göre, bu diğer yollara iki nokta arasındaki direkt düz çizgi de dahil, cycloid eğrisi üzerinde en kısa sürede düşer. Dahası, bu cycloid eğrisi üzerinde farklı noktalardan başlattığınız tüm toplar aynı sürede düşer.

Bu aynı zamanda düşmeyi şu animasyonla gösterebilirim: Turkuaz, bir cycloid eğrisi. Farklı noktalardan başlayan tüm toplar aynı zamanda aşağıya varıyorlar.

Eğer çemberin yarıçapı \(R\) ise, bir cycloid eğrisinin uzunluğu \(8R\), bir cycloid eğrisi altında kalan alan da \(3 \pi R^2\). Kürenin alanından (\(4 \pi R^2\)) sadece bir daire alanı kadar eksik!

Kürenin alanının \(4 \pi R^2\) olduğunun “mandalina ile” kanıtı. Mandalinanın en geniş yerinin etrafında dört tane kopya çizin ve mandalinanın kabuğunu soyduktan sonra kabuğun bu dört daireyi doldurduğunu görün.

Huygens tarafından gösterilen başka güzel bir sonucu daha var cycloid eğrisinin. Bu cycloid eğrisinde iki kırmızı çizgiyi alın, ters çevirin ve aradaki sivri yerine bir sarkaç bağlayın. Bu sarkacın ucundaki top, iki yana sallandıkça yine bir cycloid eğrisi çizer. Aynı zamanda sarkacın genliğinden bağımsız olarak, farklı genliğe sahip tüm bu sarkaçların periyotları aynıdır.

Pekala, biraz daha yakından inceleyelim bu cycloid eğrisini. Mesela, bu çemberimiz düz yol üzerinde değil de başka bir çemberin etrafında yuvarlanırsa nasıl görünür? Büyük, yuvarlanmayan çemberin yarıçapı \(R\), küçük, yuvarlanan çemberin yarıçapı \(r\) olsun. Bu durumda, küçük çemberin üzerindeki bir noktanın izlediği yolu (büyük çemberin merkezine uzaklığını) buraya yazıyorum:

\(\rho = \sqrt{(R+r)^2 + r^2 -2r(R+r)\cos\left(\displaystyle{\frac{R}{r}\theta}\right)}\)

Büyük çemberin yarıçapı ve küçük çemberin yarıçapına bağlı bu uzaklık. Bu tür bir eğriye epicycloid deniliyor. Çeşitli oranlar için (\(R/r = 1,2,3,4,5,6\)) animasyonları buraya koyuyorum:

Peki, bu oran tam sayı değil de kesirli bir sayı olursa nasıl görünür? Buraya yarıçapların oranının \(R/r = 2/3\) ve \(R/r  =3/2\) olduğu durumları koyuyorum:

Yani, bu oran rasyonel sayı olursa bir şekilde eğri kendi üzerine kapanıyor. eheheh O zaman bu oranı irrasyonel sayı alayım da görsün gününü:

Bu oran irrasyonel sayı olursa eğri asla uzerine kapanmaz. Burada oranın \(R/r = \pi\) ve \(R/r = \sqrt{2}\) olduğu durumları gösterdim. Bu sürpriz değil, uzaklık denkleminde \(\cos\left(R\theta/r\right)\) diye bir terim var. \(R/r\) irrasyonel ise hiçbir rasyonel \(\theta\) için \(R\theta/r\), \(2\pi\)’nin tam sayı katı olamaz.

Devam… Bu çember diğer sabit çemberin dışında değil de içinde dönerse eğri nasıl görünür? Bu durumun ismi de hypocycloid. Latince düşününce cidden çok yaratıcı bir isim. Ben buna “iç-çemberimsi” desem Türkçe’de, neyse… Bu durumun polar denklemi de:

\(\rho = \sqrt{(R-r)^2 + r^2 -2r(R-r)\cos\left(\displaystyle{\frac{R}{r}\theta}\right)}\)

Burada \(R/r = 2,3,4,5,6\) olan durumların animasyonlarını koyuyorum:

Evet, \(R/r = 2\) olduğu durum düz bir çizgi. Her bir çizgiyi biraz döndürdüm ve aşağıdaki muazzam şekli elde ettim. Her nokta kendi başına çizgi üzerinde salınan hareketten başka bir şey yapmıyor!

Bu oranın kesirli olduğu iki durum:

…ve son olarak irrasyonel olduğu, kendi üzerine kapanmadığı iki durum. Yine \(\pi\) ve \(\sqrt{2}\) için:

Ekleme: Altın oran ile epicycloid ve hypocycloid.

Ayrıca, çemberin yarıçapının ucunda değil de, yarıçapın yarısının izlediği yol ile de benzer şekiller yapılabilir. Buraya yarıçapların oranının yine altın oran olduğu halleri ekliyorum:

Bitirmeden önce şunu paylaşmadan geçemeyeceğim. Dönen çember diğer çemberin içinde olduğu durum için şekiller üst üste binmiş elipslerle gösterilebilir. \(R/r = 4\) olduğu durumu buraya koyuyorum. Eminim ki hatırlayacaksınız, kareli defterlerden. İleride zaman ayırabilirsem başka oranlar için olanları da koyarım buraya:

Yakın zamanda dolaşan Adam Savage (Mythbusters) ve VSauce’nin Brachistochrone problemi videosunu görmediyseniz de hemen görün:

Yazi ve animasyon: Bilgecan Dede

The following two tabs change content below.

• Bilgi
• Son Yazıları

Bilgecan Dede

Hukuğa kafası basmadığından meslek okuluna gitti bu. Ondan sonra gâvur bir ustanın yanına çırak verdiler eli iş tutsun diye, çok şükür ustalığını kazanmış ondan, şimdi de usta olmuş çalışıyor. Eli yüzü düzgün biriyle de evermişler. Ben diyorum, “Bak ileride torun combalak olacak, gel bir şirkette işe başla.” Ama dinlemiyor ki, asi biraz bu.

Yazar: Bilgecan Dede (tümünü gör)

• Fourier Serisi yazısına ek: - 23 Aralık 2018
• Yapay zekâ yüzünden kaybolacak ve eklenecek iş sayıları, bir tabloda - 4 Nisan 2018
• 130 yıl sonra gelen adalet: Telefonun mucidi resmî olarak Antonio Meucci! - 18 Şubat 2018
• Denklem Yazmak - 6 Ocak 2018
• Temel Harmonikler ve Lissajous Eğrileri - 17 Aralık 2017